Ingreso a 7mo Grado • Resumen fácil, con dibujos y a todo color ✨
Los signos de MÁS (+) y MENOS (-) son como "paredes" 🧱. Te dicen qué paquetes de cuentas resolver primero.
Ejemplo con trampita: $24 + 72 : 6 + 3 \times 4$
Ej 1 $84 : (5 \times 2 + 2) + 5$
Adentro: $5 \times 2 = 10$ ➡️ $10 + 2 = 12$
Queda: $84 : 12 + 5 = 7 + 5 = \mathbf{12}$
Ej 2 $90 : (4 + 3 \times 2)$
Adentro: $3 \times 2 = 6$ ➡️ $4 + 6 = 10$ ➡️ $90 : 10 = \mathbf{9}$
⚠️ ¡Ojo! Los paréntesis cambian el resultado: $33 + 3 \times (5 + 4) = 33 + 27 = 60$ pero $33 + 3 \times 5 + 4 = 33 + 15 + 4 = 52$.
Una fracción representa una parte de un chocolate o una pizza entera:
3 (Numerador)4 (Denominador)
🍓 Numerador (arriba): Cuántas porciones te comés o pintás.
🍕 Denominador (abajo): En cuántas partes cortaste la pizza entera. (¡Nunca puede ser 0!)
🔹 Propia: Comés MENOS de una pizza. (Ej: 25).
🔸 Impropia: Tenés tanta hambre que comés MÁS de 1 pizza (Ej: 74).
🎯 Aparente: ¡Disfraz de fracción! Al dividir da exacto (Ej: 84 = 2 pizzas enteras).
🍨 Mixta: Entero + Fracción: 74 es igual a 1 y 34.
• Amplificar: Multiplicás arriba y abajo por el mismo número para agrandar los números (sin cambiar el tamaño de la porción). Ej: 13 $\times 2$ = 26.
• Simplificar: Dividís arriba y abajo hasta llegar a la más chiquita (Fracción Irreducible). Ej: 1520 $: 5$ = 34.
Si los números de abajo son iguales, ¡se deja el mismo y solo sumás/restás arriba!
Buscamos un denominador común multiplicando (usando MCM):
¡El camino más directo! El de arriba por el de arriba, y el de abajo por el de abajo:
Dejá la primera igual, cambiá por multiplicación y da vuelta la segunda:
🦋 Método cruzado (mariposa): ¡Atajo sin dar vuelta nada! Multiplicás en cruz siguiendo las alas de la mariposa:
¡Da lo mismo que la vuelta carnero! Elegí el que te guste más 😉
¿Cuánto son las 25 partes de $45$ bombones?
Paso mágico: Dividís por el de abajo y multiplicás por el de arriba:
$45 : 5 = 9$ ➡️ luego $9 \times 2 = \mathbf{18\text{ bombones}}$.
Multiplicás el entero por el denominador, le sumás el numerador y dejás el mismo denominador:
2 13 = 2 × 3 + 13 = 73
Al revés (impropia → mixta): dividís. 73 ➡️ $7 : 3 = 2$ y sobra $1$ ➡️ 2 13.
💡 Antes de multiplicar o dividir fracciones, ¡pasá las mixtas a impropias! Y al final, simplificá el resultado si se puede.
¡Hacé la división con la casita! El de arriba dividido el de abajo:
• 145 = $14 : 5 = \mathbf{2,8}$
• 12 = $1 : 2 = \mathbf{0,5}$
Escribí el número sin coma arriba, y abajo poné un 1 con tantos ceros como lugares haya tras la coma:
• $0,6$ tiene 1 lugar tras la coma ➡️ 610 (simplificado por 2 = 35).
• $0,25$ tiene 2 lugares ➡️ 25100 = 14.
1. Mirá entre qué números enteros está (por ejemplo, $2,5$ está entre el 2 y el 3).
2. Si es una fracción como 35, partís cada unidad en 5 pedacitos iguales con la regla y das 3 saltitos.
Entre 0 y 1 hacés 5 partes iguales (el denominador) y contás 3 saltitos (el numerador).
Está entre el 2 y el 3. Dividís esa unidad en 10 partes (décimos) y contás 5: ¡justo en la mitad!
💡 Si la fracción es impropia (como 74), pasala a mixta (1 34): se ubica entre el 1 y el 2, en el tercer cuartito.
Símbolos: > mayor, < menor, = igual (la "boquita" siempre se abre hacia el número más grande 🐊).
Fracciones equivalentes: parecen distintas pero valen lo mismo y se ubican en el mismo punto de la recta: 12 = 24 = 36 = 0,5.
Son los números que aparecen en la tabla de multiplicar de un número. ¡Van para adelante y son infinitos!
Ej Múltiplos de 6: $0, 6, 12, 18, 24, 30...$
*(El 0 es múltiplo de todos).*Son los números que entran en otro de forma justa y exacta (resto 0).
Ej Divisores de 12: $1, 2, 3, 4, 6\text{ y }12$.
*(El 1 es divisor de todos los números).*• Número Primo: Es un número muy especial que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo (tiene solo 2 divisores). Ej: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...$
• Número Compuesto: Tiene más de dos divisores. Ej: $4, 6, 8, 9, 10, 12...$
⚠️ ¡Ojo al piojo! El 0 y el 1 NO son ni primos ni compuestos.
| Número | El Secreto para saber si entra exacto | Ejemplo |
|---|---|---|
| Por 2 | Termina en número par ($0, 2, 4, 6, 8$). | 894 (termina en 4 ✅) |
| Por 3 | Sumás sus cifras y da un múltiplo de 3 ($3, 6, 9...$). | 831 $\rightarrow 8+3+1=12$ (12 está en la tabla del 3 ✅) |
| Por 4 | Sus últimas 2 cifras son 00 o forman un múltiplo de 4. | 3716 $\rightarrow$ termina en 16 y $16 = 4 \times 4$ ✅ 1500 (termina en 00 ✅) |
| Por 5 | Termina en 0 o en 5. | 2415 ✅ |
| Por 6 | Cumple la regla del 2 y del 3 al mismo tiempo. | 540 (es par y $5+4+0=9$ ✅) |
| Por 7 | Separás la última cifra, la duplicás y se la restás al resto del número. Repetís si hace falta. Si da 0 o múltiplo de 7 ✅ | 861 $\rightarrow 86 - 2 \times 1 = 84$ (84 está en la tabla del 7 ✅) 343 $\rightarrow 34 - 2 \times 3 = 28$ ✅ |
| Por 8 | Sus últimas 3 cifras son 000 o forman un múltiplo de 8. | 5120 $\rightarrow$ termina en 120 y $120 = 8 \times 15$ ✅ |
| Por 9 | Sumás todas sus cifras y da 9, 18, 27... | 6507 $\rightarrow 6+5+0+7=18$ ✅ |
| Por 10 | Termina en 0. | 4390 ✅ |
¿Cuándo se usa en problemas?
Cuando las cosas coinciden o se repiten en el tiempo: campanas sonando juntas, tomar remedios a la vez, luces que titilan juntas.
Ejemplo: Tomo una pastilla cada 3 hs y otra cada 4 hs. ¿Cuándo coinciden?
Múltiplos de 3: $3, 6, 9, \mathbf{12}, 15...$
Múltiplos de 4: $4, 8, \mathbf{12}, 16...$
¡Coinciden cada 12 horas!
¿Cuándo se usa en problemas?
Cuando tenés que repartir, cortar o armar paquetitos/platos iguales con la mayor cantidad posible y sin que sobre nada.
Ejemplo: 24 alfajores de dulce de leche y 18 de maicena en platos iguales sin mezclar.
Divisores de 24: $1, 2, 3, 4, \mathbf{6}, 8, 12, 24$
Divisores de 18: $1, 2, 3, \mathbf{6}, 9, 18$
El más grande común es el 6. ¡Pondrá 6 alfajores por plato!
Dividís el número por primos (empezando por el 2, luego 3, 5, 7...) hasta llegar a 1. Los primos que usaste son sus "ladrillitos" 🧱. Si un primo se repite, lo escribís como potencia.
$12 = 2 \times 2 \times 3 = \mathbf{2^2 \times 3}$ $18 = 2 \times 3 \times 3 = \mathbf{2 \times 3^2}$
*(El exponente cuenta cuántas veces se repite el primo: $2^2$ = 2 × 2.)*
Tomo TODOS los primos (comunes y no comunes) con el MAYOR exponente.
M.C.M. entre 12 y 18:
$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$
• El 2: aparece como $2^2$ y como $2^1$ ➡️ me quedo con $2^2$
• El 3: aparece como $3^1$ y como $3^2$ ➡️ me quedo con $3^2$
$\text{M.C.M.} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = \mathbf{36}$ ✅
Tomo SOLO los primos comunes con el MENOR exponente.
M.C.D. entre 12 y 18:
$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$
• El 2: está en los dos, el menor exponente es $2^1$
• El 3: está en los dos, el menor exponente es $3^1$
$\text{M.C.D.} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$ ✅
Ejemplo: divisores de 60 ➡️ $60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
Paso 1: una columna por cada primo, con sus potencias desde el exponente 0 hasta el que tiene:
| Divisores de 60 | Potencias de cada primo | ||
|---|---|---|---|
| del 2 | del 3 | del 5 | |
| $2^0 = 1$ | $3^0 = 1$ | $5^0 = 1$ | |
| $2^1 = 2$ | $3^1 = 3$ | $5^1 = 5$ | |
| $2^2 = 4$ | |||
Paso 2: los divisores son todas las multiplicaciones posibles eligiendo un número de cada columna. Vamos de a una columna:
✅ Divisores de 60 (ordenados): $\mathbf{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}$
🤓 ¿Cuántos divisores hay? Sumás 1 a cada exponente y multiplicás: $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$ divisores. ¡Coincide!
Con dos primos funciona igual: $12 = 2^2 \times 3$ → columnas $\{1, 2, 4\}$ y $\{1, 3\}$ → $1, 2, 4, 3, 6, 12$ (6 divisores).
Aprender matemática es como traducir palabras a un código secreto:
| Si dice en palabras... | En símbolos matemáticos se escribe... |
|---|---|
| El doble de un número | $2 \times x$ |
| El triple de un número | $3 \times x$ |
| La mitad de... | $: 2$ o dividir por 2 |
| La tercera parte de... | $: 3$ o 13 de... |
| El siguiente de un número (el que viene después) | $+ 1$ (ej: el siguiente de 11 es $11 + 1 = 12$) |
| El anterior de un número (el de antes) | $- 1$ (ej: el anterior de 9 es $9 - 1 = 8$) |
| Diferencia | Resta ($-$) |
| Disminuido | Restar ($-$) |
| El cuádruple de un número | $4 \times x$ |
| La quinta parte de... | $: 5$ o 15 de... |
| La suma entre... y... | $+$ |
| El producto entre... y... | $\times$ |
| El cociente entre... y... | $:$ |
| Aumentado en | $+$ |